Решите уравнение 6^(2x-1)+2*25^(x-0,5)=16*30^(x-1)

Задача. а) Решите уравнение 6^{2x-1} + 2 \cdot 25^{x-0,5} = 16 \cdot 30^{x-1}. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0,5; 4].

Решение

Для решения уравнения 6^{2x-1} + 2 \cdot 25^{x-0,5} = 16 \cdot 30^{x-1}, нам сначала нужно упростить его, используя свойства степеней и заметив, что 25 и 30 могут быть выражены через степени 5 и 6 соответственно.

Учитывая, что 25 = 5^2 и 30 = 5 \cdot 6, уравнение примет следующий вид:

6^{2x-1} + 2 \cdot (5^2)^{x-0,5} = 16 \cdot (5 \cdot 6)^{x-1}

Далее раскроем скобки с учётом свойств степеней:

6^{2x-1} + 2 \cdot 5^{2x-1} = 16 \cdot 5^{x-1} \cdot 6^{x-1}

Теперь упростим выражение справа, разделив обе стороны на 5^{x-1} \cdot 6^{x-1}:

\displaystyle \frac{6^{x}}{5^{x-1}} + \frac{2 \cdot 5^{x}}{6^{x-1}} = 16

Это выражение можно переписать в виде:

\displaystyle 5 \cdot \frac{6^{x}}{5^{x}} + \frac{12 \cdot 5^{x}}{6^{x}} = 16

Сделаем замену \displaystyle \left( \frac{6^x}{5^x}\right)^{x}=t, t>0, тогда получим:

\displaystyle 5t+\frac{12}{t}=16

Умножим левую и правую части на t:

\displaystyle 5t^2+12-16t=0 \\ 5t^2-16t+12=0 \\ D=b^2-4ac=16^2-4 \cdot 5 \cdot 12=256-240=16=4^2

Находим корни уравнения

\displaystyle t_1=\frac{16-4}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5} \\[5mm] t_2=\frac{16+4}{10}=\frac{20}{10}=2

Переходим к первоначальной переменной:

\displaystyle \left( \frac{6^x}{5^x}\right)^{x}=\frac{6}{5} \\[5mm] x_1=1 \\[5mm] \left( \frac{6^x}{5^x}\right)^{x}=2 \\[5mm] x_2=\log_{\frac{6}{5}}{2}=\log_{1,2}{2}

В пункте a) мы получаем два корня x_1=1 и x_2=\log_{1,2}{2}

В пункте б) надо проверить принадлежность полученных корней уравнения промежутку [0,5; 4].

Корень x_1 очевидно входит в этот промежуток, так как 0,5<1<4. Проверим, входит ли в указанный промежуток второй корень x_2=\log_{1,2}{2}.

x_2 обозначает число, в которое нужно возвести число 1,2, чтобы получить 2. Если возвести 1,2 в квадрат, то получим 1,2 \cdot 1,2=1,44, а если в куб, то 1,2^3=1,728, если в четвертую степень (1,2)^4=2,07.  Таким образом, число x_2 находится между 3 и 4. Высчитывать точнее не будем, нам достаточно, что это число входит в указанный промежуток [0,5; 4].

На экзамене можно записать так:

так как 3< \log_{1,2}{2}<4 (1,2^3 =1,728, а 1,2^4=2,07).

Получается, что оба корня принадлежат отрезку [0,5; 4].

Ответ: а) x_1=1 и x_2=\log_{1,2}{2}

б) x_1=1 и x_2=\log_{1,2}{2}.