Решите систему уравнений 5x^2-11x=y, 5x-11=y.

Задача. Решите систему уравнений

\begin{cases} 5x^2 - 11x = y, \\ 5x - 11 = y. \end{cases}

Решение

Чтобы решить данную систему уравнений, заметим, что в обоих уравнениях правая часть равна y. Это означает, что можно приравнять левые части уравнений друг к другу:

5x^2 - 11x = 5x - 11

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону:

5x^2 - 11x - (5x - 11) = 0

Раскроем скобки:

5x^2 - 11x - 5x + 11 = 0

Приведем подобные члены:

5x^2 - 16x + 11 = 0

Получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант. Дискриминант D квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 находится по формуле:

D = b^2 - 4ac

Подставим наши коэффициенты:

D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 11 = 256 - 220 = 36

Корень из дискриминанта:

\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6

Теперь найдем корни уравнения:

\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[5mm] x_{1,2} = \frac{16 \pm 6}{10} \\[5mm] x_1 = \frac{16 + 6}{10} = \frac{22}{10} = 2,2 \\[5mm] x_2 = \frac{16 - 6}{10} = \frac{10}{10} = 1 

Таким образом, у нас получилось два возможных значения для x: 2,2 и 1.

Теперь мы можем подставить эти значения во второе уравнение системы, чтобы найти соответствующие значения y.

Для x = 2,2:

y = 5 \cdot 2,2 - 11 = 11 - 11 = 0

Для x = 1:

y = 5 \cdot 1 - 11 = 5 - 11 = -6

Итак, у нас есть два решения системы уравнений:

1. x = 2,2 , y = 0
2. x = 1 , y = -6

Ответ: (1; -6),  (2,2; 0).