Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?
Решение
Чтобы решить эту задачу, нужно найти вероятность при каждом событии «стрелок поразит ровно две мишени» и «стрелок поразит ровно одну мишень».
Вероятность поразить ровно одну мишень
Вероятность поразить одну мишень будет определяться следующим образом. Так как у нас не один выстрел, а два выстрела, то вероятность попасть по одной мишени будет складываться из суммы вероятностей:
p=0,6+0,4 \cdot 0,6=0,84То есть или стрелок поражает сразу мишень первым же выстрелом, или он ее не поражает первым выстрелом, но поражает вторым выстрелом.
Таким образом, мы рассчитываем вероятность попадания по мишени как 0,84. А вероятность непопадания по мишени будет 0,16 (стрелок делает два выстрела и оба раза промазывает — 0,4 \cdot 0,4=0,16).
Поскольку есть 5 мишеней и событие может произойти с каждой из них, умножаем эту вероятность на 5.
\displaystyle P(\text{ровно одна мишень}) = 5 \cdot 0,84 \cdot (0,16)^4Вероятность поразить ровно две мишени
Аналогично, вероятность поразить две мишени и промахнуться по трём оставшимся равна \displaystyle (0,84)^2 \cdot (0,16)^3. Нужно выбрать две мишени из пяти, на что есть \displaystyle C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 способов.
\displaystyle P(\text{ровно две мишени}) = 10 \cdot (0,84)^2 \cdot (0,16)^3Находим отношение
Теперь мы можем вычислить оба этих значения и найдём их отношение, чтобы определить, во сколько раз вероятность поразить две мишени больше, чем одну.
\displaystyle \frac{P(\text{ровно две мишени})}{P(\text{ровно одна мишень})} = \frac{10 \cdot (0,84)^2 \cdot (0,16)^3}{5 \cdot 0,84 \cdot (0,16)^4}Вычислим:
\displaystyle \frac{10 \cdot (0,84)^2 \cdot (0,16)^3}{5 \cdot 0,84 \cdot (0,16)^4}=\frac{8,4}{0,8}=10,5Таким образом, вероятность поразить ровно две мишени в 10,5 раза больше, чем вероятность поразить ровно одну мишень.
Ответ: 10,5.
