Задача. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 61° и 89°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10.
Решение
Для решения задачи применим теорему синусов. Эта теорема утверждает, что в треугольнике стороны пропорциональны синусам противоположных углов, а их отношение равно диаметру описанной около треугольника окружности.
Формула теоремы синусов выглядит следующим образом:
\displaystyle \frac{a}{\sin ∠A} = \frac{b}{\sin ∠B} = \frac{c}{\sin ∠C} = 2R,где a, b, c — стороны треугольника, ∠A, ∠B, ∠C — противолежащие углы, и R — радиус описанной окружности.
Нам известны углы ∠B = 61° и ∠C = 89° , а также радиус описанной окружности R = 10 . Чтобы найти угол A , мы используем тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180°:
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 61° - 89° = 30°.Теперь, зная угол A и радиус R , мы можем найти сторону BC (обозначим её как a ), которая лежит против угла A :
a = 2R \cdot \sin∠A.Подставим известные значения:
a = 2 \cdot 10 \cdot \sin 30°.Синус 30 градусов равен 0,5, поэтому:
a = 20 \cdot 0,5 = 10.Таким образом, длина стороны BC треугольника ABC равна 10.
Ответ: 10
