Задача. Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 15 и 8. Найдите основания трапеции.
Решение
Замечаем, что 23° + 67° = 90°, а это означает, что продолжения боковых сторон трапеции, пересекаясь, образуют прямой угол.
Итак, в трапеции ABCD ∠BAC=23°, ∠ADC=67°,
M – середина АВ, N – середина CD и длина MN = 15.
E – середина ВС, F – середина AD и длина EF = 8. Пусть отрезки MN и EF пересекаются в точке О, а продолжения боковых сторон трапеции АВ и CD – в точке К.
Требуется найти основания трапеции AD и BC. Так как треугольник MKN является прямоугольным, то его медиана KO равна половине гипотенузы MN, т.е. KO=MN:2=15:2=7,5. Так как MN – средняя линия трапеции, то она делит пополам и отрезок EF, поэтому, EO=EF:2=8:2=4. Отрезок KE=KO-EO=7,5-4=3,5, тогда KF=EF+KE=8+3,5=11,5. Так как треугольник АКD является прямоугольным, то KF – медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы AD. Так как KF =11,5, то AD=2∙KF=2∙11,5=23. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, следовательно, AD+BC=2∙MN=2∙15=30, и ВС=30-AD=30-23=7.
Ответ: основания трапеции AD=23, BC=7.
