Задача. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону \displaystyle H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac{g}{2}k^2t^2, где t-время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H_0=20 \; м — начальная высота столба воды, \displaystyle k=\frac{1}{200} — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с^2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?
Решение
Итак, здесь мы подробно рассмотрели связь между первоначальным объемом воды в баке и последующим, через определенное время. И показали почему мы можем свести отношение между объемами воды в баке к отношению между высотами столба воды в том же баке.
Перейдем сразу к отношению между высотами столба жидкости.
\displaystyle \frac{H_0}{4}=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac{g}{2}k^2t^2Подставим значения H_0, k и g:
\displaystyle 5=20-\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} \cdot \frac{1}{200} t+5 \cdot (\frac{t}{200})^2или
\displaystyle 5(\frac{t}{200})^2-20 (\frac{t}{200})+15=0Сократим на 5:
\displaystyle (\frac{t}{200})^2-4 (\frac{t}{200})+3=0Обозначим \displaystyle x=\frac{t}{200}, тогда уравнение примет вид:
x^2-4x+3=0По теореме Виета находим x_1=1, x_2=3.
Переходим к первоначальной переменной:
\displaystyle \frac{t}{200}=1 и \displaystyle \frac{t}{200}=3И находим:
t_1=200 и t_2=600Мы берем первое значение 200 с, так как второе значение не имеет физического смысла.
Ответ: 200.
