В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба в нём выраженная в метрах, меняется по закону \displaystyle H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac{g}{2}k^2t^2, где t-время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H_0=5м — начальная высота столба воды, \displaystyle k=\frac{1}{700} — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с^2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

Решение

Объем бака определяется по формуле V=SH, где S — площадь поперечного сечения бака.

Тогда первоначальный объем бака V_0=SH_0.

А объем бака спустя время будет V=SH.

Таким образом, когда в баке останется четверть первоначального объема \displaystyle V=\frac{V_0}{4}, это можно записать через высоту столба жидкости в баке?

\displaystyle V=\frac{V_0}{4} \\ SH=\frac{SH_0}{4}

Сократим левую и правую части на S — ведь площадь поперечного сечения бака осталась неизменной, получим:

\displaystyle H=\frac{H_0}{4}

Теперь подставим вместо H данное в задаче выражение \displaystyle H(t)=H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac{g}{2}k^2t^2, получим уравнение:

\displaystyle H_0-\sqrt{2gH_0}kt+\frac{g}{2}k^2t^2=\frac{H_0}{4}

Подставим все численные значения, которые нам даны в задаче.

\displaystyle 5-\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} \frac{1}{700} t+\frac{10}{2}(\frac{1}{700})^2t^2=\frac{5}{4}

Преобразуем:

\displaystyle 5-\sqrt{100} \frac{1}{700} t+5\cdot \frac{1}{700^2} t^2=\frac{5}{4}

В итоге мы придем к следующему квадратному уравнению:

\displaystyle \frac{5}{490000} t^2 -\frac{1}{70}t+\frac{15}{4}=0

Теперь нам надо решить данное уравнение.

\displaystyle \frac{1}{98000} t^2 - \frac{1}{70} t + \frac{15}{4} = 0

В квадратном уравнении at^2 + bt + c = 0:

\displaystyle a = \frac{1}{98000} \\  b = -\frac{1}{70} \\  c = \frac{15}{4}

Тогда формулы корней уравнения и дискриминанта:

\displaystyle t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \quad , \quad D = b^2 - 4ac

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

\displaystyle D = b^2 - 4ac = (-\frac{1}{70})^2 - 4 \cdot \frac{1}{98000} \cdot \frac{15}{4} = \frac{1}{4900} - \frac{3}{19600} = \frac{1}{19600}

Находим корни уравнения:

\displaystyle t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2 \cdot a} =\frac{\frac{1}{70} - \sqrt{\frac{1}{19600}}}{2 \cdot \frac{1}{98000}} = \frac{\frac{1}{70} - \frac{1}{140}}{\frac{1}{49000}} = \frac{\frac{1}{140}}{\frac{1}{49000}} = 350 \\ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2 \cdot a} =\frac{\frac{1}{70} + \sqrt{\frac{1}{19600}}}{2 \cdot \frac{1}{98000}} = \frac{\frac{1}{70} + \frac{1}{140}}{\frac{1}{49000}} = \frac{\frac{3}{140}}{\frac{1}{49000}} = 1050

Мы берем наименьшее значение, так как нам нужно наименьшее время, при котором объем жидкости в баке уменьшится в четыре раза.

Ответ: 350.