В классе больше 10, но не более 27 учащихся, а доля девочек не превышает 26 %.
а) Может ли в этом классе быть 6 девочек?
б) Может ли доля девочек составить 30 %, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
Решение
Для решения этой задачи, давайте последовательно ответим на каждый из трёх пунктов.
а) Может ли в этом классе быть 6 девочек?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно определить, удовлетворяет ли количество девочек 6 условию, что их доля не превышает 26%. Поскольку в классе больше 10 учеников, но не более 27, возьмём максимальное возможное количество учеников — 27. Если девочек 6, то доля девочек будет \displaystyle \frac{6}{27}, что примерно равно 22.2%. Это удовлетворяет условию, что доля девочек не превышает 26%. Таким образом, ответ на вопрос а) — да.
б) Может ли доля девочек составить 30%, если в этот класс придёт новая девочка?
Если в классе сейчас меньше, чем 27 учеников, и приход новой девочки увеличит долю девочек, давайте предположим, что сейчас в классе 27 учеников. В этом случае, если добавить ещё одну девочку, их количество будет 7 (поскольку 6 уже удовлетворяет предыдущему пункту). Доля девочек станет \displaystyle \frac{7}{28}, что составляет 25%. Это меньше 30%. Если же в классе меньше учеников, добавление одной девочки только уменьшит это процентное соотношение. Таким образом, ответ на вопрос б) — нет.
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?
Мы знаем, что доля девочек не может превышать 26%. Определим максимальное количество девочек в каждом классе, считая общее количество учеников от 10 до 27. Нам нужно именно максимальное число девочек, потому что только при увеличении этого числа на 1 мы впоследствии сможем получить максимальное число процентов девочек в классе.
| Число учеников (n) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
| Максимальное число девочек (x) | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 6 | 6 | 6 | 7 |
Мы подсчитали максимальное число девочек в каждом возможном случае. Так как нас интересует максимальный процент девочек в классе.
Теперь запишем дроби, и найдем ту из них, которая дает наибольшее целое число процентов. Дроби записываем по принципу:
\displaystyle \frac{x+1}{n+1}.Дроби доли девочек в классе после прихода новой девочки.
\displaystyle \frac{3}{11}, \; \frac{3}{12}, \; \frac{3}{13}, \; \frac{4}{14}, \; \frac{4}{15}, \; \frac{4}{16},\\[5mm] \frac{5}{17}, \; \frac{5}{18}, \; \frac{5}{19}, \; \frac{5}{20}, \; \frac{6}{21}, \; \frac{6}{22}, \; \frac{6}{23}, \; \frac{6}{24}, \\[5mm] \frac{7}{25}, \; \frac{7}{26}, \; \frac{7}{27}, \; \frac{8}{28}.Если у нас целое число процентов, то сразу отбросим те дроби, у которых в знаменателе есть числа, в составе которых есть 11, 13, 17, 19, 23. Остаются дроби:
\displaystyle \frac{3}{12}, \; \frac{4}{14}, \; \frac{4}{15}, \; \frac{4}{16}, \; \frac{5}{18}, \; \frac{5}{20}, \; \frac{6}{21}, \; \frac{6}{24}, \; \frac{7}{25}, \; \frac{7}{27}, \; \frac{8}{28}.Теперь, очевидно, «уходят» дроби \displaystyle \frac{4}{14}, \; \frac{4}{15}, \; \frac{5}{18}, \; \frac{6}{21}, \; \frac{7}{27}, \; \frac{8}{28}.
Остаются дроби, которые нам могут дать целое число процентов:
\displaystyle \frac{3}{12}, \; \frac{4}{16}, \; \frac{5}{20}, \; \frac{6}{24}, \; \frac{7}{25}.Считаем и выбираем максимальное число:
0,25, \; 0,25, \; 0, 25, \; 0,25, \; 0, 28.Итак, максимальное число процентов будет 28. При этом первоначально в классе было 24 человека и 6 девочек. Таким образом, в пункте в) ответ — 28%.
Довольно сложный подход, но наглядный.
Ответ: а) да, б) нет, в) 28%.
