В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.
б) Найдите угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.
Решение.
Проведем ВМ⊥AS и точку М соединим с точкой D. Так как в равностороннем ∆SAB высота ВМ также является медианой, то медиана MD в равносторонем ∆SAD также является и высотой. Прямая AS, перпендикулярная двум пересекающимся в точке М прямым, лежащим в плоскости BMD, будет перпендикулярна и самой плоскости BMD. Так как MD – общая прямая плоскости BMD и плоскости SAD, то это и есть прямая пересечения плоскости SAD с плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS.
Угол между плоскостью SAD и плоскостью BMD должен быть образован двумя полупрямыми, перпендикулярными MD – прямой пересечения плоскостей. В плоскости SAD AM⊥MD (MD – высота), АМ=1/2 (помним, что все ребра данной пирамиды равны 1). В плоскости BMD проведем перпендикуляр KM⊥MD и выясним положение точки К на диагонали BD квадратаABCD. ∠АМК – искомый, обозначим его через φ.
Рассмотрим равнобедренный ∆BMD.
МО – высота и медиана этого равнобедренного треугольника, а также МО — средняя линия ∆SAC, поэтому MO= 1/2 (все ребра пирамиды равны 1).
В прямоугольном ∆MОD обозначим ∠ODM через α.
Из прямоугольного ∆KMD найдем
Из прямоугольного ∆АОК (диагонали квадрата пересекаются под прямым углом) по теореме Пифагора имеем:
Из ∆АМК по теореме косинусов найдем косинус искомого ∠АМК = φ.
Так как cosφ = 0, то ∠АМК = φ = 900, и это означает, что угол между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой AS – прямой.
Ответ: 90.
