Задача. Высота конуса равна 18, а длина образующей равна 30. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Решение
Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, вершина которого совпадает с вершиной конуса, а основание — с диаметром основания конуса. Высота этого треугольника совпадает с высотой конуса и равна 18, а боковые стороны равны образующей конуса и равны 30.
Чтобы найти площадь осевого сечения, нам нужно вычислить основание треугольника. Основание треугольника — это диаметр основания конуса, который мы найдем, применив теорему Пифагора к равнобедренному треугольнику, где катеты — это высота конуса и радиус основания, а гипотенуза — образующая.
Радиус основания конуса можно выразить как:
r = \sqrt{l^2 - h^2},где l — длина образующей, а h — высота конуса.
Подставляем значения и находим радиус:
r = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24.Теперь найдем диаметр основания конуса, который в два раза больше радиуса:
d = 2r = 2 \cdot 24 = 48.Зная высоту и основание равнобедренного треугольника, находим площадь осевого сечения:
\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 18 = 24 \cdot 18 = 432.Площадь осевого сечения конуса равна 432.
Ответ: 432.
