Задача по геометрии: в правильной треугольной пирамиде SABC точка M середина ребра BC S — вершина

В правильной треугольной пирамиде Геометрия 5-11 класс

В правильной треугольной пирамиде SABC точка M середина ребра BC S вершина. Известно что SM=5, а площадь боковой поверхности равна 45. Найдите длину отрезка АВ.

Решение: Нарисуем пирамиду и отметим на ней все указанные в условии точки. Так как пирамида правильная — в основании у нее лежит правильный треугольник ABC, все стороны которого равны AB=BC=AC=a. Площадь боковой поверхности такой пирамиды — это сумма площадей треугольников SAB, SBC и SAC. Так как основания этих треугольников равны, а вершина пирамиды равноудалена от сторон ее основания, то и сами треугольники равны и являются в правильной пирамиде равнобедренными, то есть мы можем взять любой из треугольников SAB, SBC или SAC, например, удобнее взять треугольник SBC. Так как в нем дана высота SM (M — середина основания равнобедренного треугольника SBC, то есть SM=h — медиана — является также высотой и биссектрисой). Площадь треугольника SBC: S_{SBC}=\frac{1}{2} \cdot SM \cdot a. Площадь боковой поверхности такой пирамиды — это сумма площадей треугольников SAB, SBC и SAC. Так как основания этих треугольников равны, а вершина пирамиды равноудалена от сторон ее основания, то и сами треугольники равны и являются в правильной пирамиде равнобедренными, то есть мы можем взять любой из треугольников SAB, SBC или SAC, например, удобнее взять треугольник SBC. Так как в нем дана высота SM (M — середина основания равнобедренного треугольника SBC, то есть SM=h — медиана — является также высотой и биссектрисой). Площадь треугольника SBC: S_{SBC}=\frac{1}{2} \cdot SM \cdot a.

В правильной треугольной пирамиде

Боковая поверхность пирамиды равна S бок =3 \cdot S_{SBC} бок =3 \cdot S_{SBC} или S бок =\frac{3}{2} \cdot SM \cdot a бок =\frac{3}{2} \cdot SM \cdot a. Так как S бок =45 бок =45, а SM=5, получаем уравнение:

45=\frac{3}{2} \cdot 5\cdot a

Решаем уравнение:

9=\frac{3}{2} a

a=6.

Ответ: 6

Оцените статью
Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ