Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
2018-03-27_113214

имеет ровно два различных решения.

Решение

ОДЗ: -2 ≤ х < 6. Рассмотрим первое уравнение системы. Данная дробь будет равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель нет.

2018-03-27_113338

Тогда из второго уравнения системы у = а-х, отсюда   у = а + 2. Итак, одно решение системы уже имеется. А сколько решения вообще может иметь данная система?

2) у2-ху + 3х-у-6 = 0. ( * )

Выразим х через у из второго уравнения системы. Получим: х = а-у. Подставим это выражение вместо х в уравнение  ( * ).

у2-(а-у)у + 3(а-у)-у-6 = 0;

у2-ау + у2 + 3а-3у-у-6 = 0;

2-4у-ау + 3а-6 = 0;

2-(4 + а)у + 3а-6 = 0. Находим дискриминант

D = (4 + a)2-4 2 (3a-6) = 16 + 8a + a2-24a + 48 = a2-16a + 64 = (a-8)2 ≥ 0.

Дискриминант D = (a — 8)2 = 0 при а = 8. Подставляем а = 8 и получаем:

2-(4 + 8)у + 3 8-6 = 0     →    2у2-12у + 18 = 0     →    у2-6у + 9 = 0      →         →   (у-3)2 = 0   →   у = 3.

Находим х = 8-3 = 5.  Это значение удовлетворяет ОДЗ. Мы нашли решение системы: (5; 3), которое соответствует значению а = 8. У нас уже два решения системы.

3) Поищем другие решения системы. Разложим многочлен в левой части равенства ( * ) на множители.

у2-ху + 3х-у-6 = (у2-у-6)-(ху-3х) = (у + 2)(у-3)-х(у-3) = (у-3)(у + 2-х).

Решаем уравнение:

(у-3)(у + 2-х) = 0. Отсюда у-3 = 0 или у + 2-х = 0.

Тогда в первом случае у = 3, и этот случай (при а = 8) мы рассмотрели выше. При этом, подставляя у = 3 во второе уравнение системы, получаем х-3 + а = 0.

Отсюда х = а-3. Учтём ОДЗ и получим двойное неравенство:

-2 ≤ а-3 < 6;

1 ≤ а < 9. Итак, при а ∈ [1; 9) данная система имеет два решения.

Во втором случае у + 2-х = 0. Отсюда у = х-2.

Выразим у из уравнения х + у-а = 0. Получаем у = а-х. Левые части равенств равны – будут равны и правые части.

х-2 = а-х     →      2х = а + 2

2018-03-27_113421

Третье решение система принимает при  а ∈ [-6; 10).

Обращаем внимание на то, что в промежуток  [1; 9) входит значение а = 8, при котором система имеет решение (5; 3), а сам промежуток [1; 9) входит в промежуток [-6; 10).  Из этого следует, что если мы возьмём значение а = 8 и те значения а из промежутка [-6; 10), которые не входят в промежуток [1; 9). В этом случае данная система будет иметь ровно два решения.

2018-03-27_113443Получаем:

а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.

Ответ: а ∈ [-6; 1) ∪ [9; 10) и а = 8.

Оцените статью
Разбор и решение заданий из ОГЭ и ЕГЭ